Projet ANR FLAIR

ANR-17-CE40-0012

Familles de fonctions L : analyse, interactions, résultats effectifs

2017 - 2021

 

Description du projet

Les fonctions L sont des objets de nature analytique, algébrique, ou combinatoire, omniprésents en théorie des nombres et en géométrie arithmétique. Récemment des formalisations de ce qu'est une « bonne » famille de fonctions L ont été proposées. De telles familles apparaissent naturellement dans domaines variés et très actifs de la recherche actuelle : mentionnons la théorie des formes automorphes et les représentations d'Artin, les modules de Drinfeld, les variétés abéliennes sur des corps globaux, le biais dans la distribution de suites indexées par des nombres premiers ou plus généralement par des places finies de corps globaux...

Le projet FLAIR propose une étude systématique, sur les plans théoriques et algorithmiques, des familles de fonctions L. L'objectif principal est de réunir des experts des divers domaines mentionnés ci-dessus (ainsi que de leur pendant algorithmique) : ils interagiront pour explorer davantage la richesse des informations portées par les fonctions L.

En mettant l'accent sur le rôle unificateur des fonctions L et de leurs familles, ce projet vise à synthétiser des points de vue complémentaires provenant de domaines distincts : l'approche analytique dans la théorie classique des fonctions L, la théorie des fonctions L d'Artin en lien avec le programme de Langlands, les fonctions L provenant de la géométrie arithmétique dans l'esprit des conjectures de Weil et des travaux fondateurs de Grothendieck, Deligne et leurs collaborateurs, les fonctions L p-adiques, etc. Un développement systématique de la notion émergente de bonne famille de fonctions L permettra de transposer des techniques analytiques de calcul en moyenne, qui ont déjà amené des progrès spectaculaires dans de nombreux problèmes concrets de nature arithmétique, géométrique ou analytique, à d'autres situations où les familles de fonctions L jouent un rôle.

Ce projet repose notamment sur les interactions constantes entre des considérations théoriques et numériques et des fonctionnalités algorithmiques pour les diverses familles de fonctions L que nous envisageons d'étudier. Les systèmes de calcul formel ont connu un développement considérable et des améliorations continuelles au cours des dernières années. Ils fournissent plus que jamais un outil précieux pour tester la validité d'hypothèses, appuyer des heuristiques pertinentes et aident la communauté en lui fournissant des moyens effectifs, pratiques et puissants pour poursuivre ses recherches. Le projet s'appuie fermement sur la tradition d'excellence et l'expertise en aspects algorithmiques de théorie des nombres apportées par l'Institut de Mathématiques de Bordeaux.

Le projet est articulé autour de deux noeuds : l'Institut de Mathématiques de Bordeaux (porteur du projet) et le Laboratoire de Mathématiques de Besançon.

Partenaires : ANR, Copenhague, ETHZ, ICJ, IMB, IMJ, Leiden, LMB, LMBP, LMV, OpenDreamKit, PMB